{ U.Uus TK 63 1987 45-52 }
KAM-teoreem: Maailmas on rohkem korda, kui seni arvati
Sissejuhatus
Materiaalse maailma käitumises on teatud kord, mis avaldub hulgas seaduspärasustes. Kõige põhilisemaid nendest seaduspärasustest nimetatakse füüsikaseadusteks. Kuid on olemas veel seosed, mis on niivõrd üldised ja fundamentaalsed, et näivad tulenevat mitte konkreetse füüsikalise maailma omadustest, vaid oluliselt sügavamalt tasemelt, mida võiks nimetada loogiliseks. Neid seoseid nimetatakse matemaatikateoreemideks.
Oma üldkehtivuse tõttu määravad matemaatikateoreemid maailma n.-õ. vältimatud omadused, seepärast on arusaadav matemaatiliste tõdede tundmise tähtsus füüsikalise maailma iseloomu mõistmiseks. Eks ole ju maailma teaduslik tunnetamine käinud käsikäes matemaatika arenguga.
Matemaatikateoreemid on erineva üldisuse astmega. Vähesed neist, enamasti lihtsaimad, on laialt rakendatavad. Keerulisemad teoreemid on suhteliselt piiratud kasutusalaga, kehtides mingi konkreetse struktuuriga kitsa objektide klassi korral ning fikseerides objekti parameetrite vahel võrdlemisi spetsiifilised, sageli nõrgalt silmatorkavad seosed. Matemaatika on arenenud mahukaks keeruliseks teaduseks ning võiks arvata, et väga üldised laia ilmnemisalaga tõed on kõik juba ammu teada. Paraku nii see pole. Vaid paarkümmend aastat tagasi tõestati nn. KAM-teoreem, mis võib osutuda äärmiselt oluliseks füüsikalise maailma käitumise mõistmisel. See teoreem avab teatud matemaatilise tõe, millest järeldub füüsikalise maailma käitumise palju suurem korrapära ja stabiilsus, kui seni arvati. Näiteks saab sellest selgeks, miks Päikesesüsteem ei lagune juba mõnekümne tuhande aastaga, vaid on suutnud püsida miljardeid aastaid.
Jäävusseadused ja dünaamiliste süsteemide käitumine
Kirjeldame järgnevalt süsteemide dünaamika uurimise probleeme Päikesesüsteemi näite varal. Lihtsuse mõttes vaatleme Päikest ja planeete kui punktmasse ning loeme Päikese paigalseisvaks.
Kui on teada planeetide asukohad ja kiirused mingil ajahetkel, saame planeetide edasise liikumise arvutada Newtoni teise seaduse ja gravitatsiooniseaduse alusel. Kuid on äärmiselt raske leida, kuidas muutub planeetide tiirlemine pikema aja jooksul. See nõuab tohutult mahukat arvutustööd ning väga suurt rehkendustäpsust, sest arvutuste pika ahela korral ümardamisvead kuhjuvad ning võivad tulemuse sootuks ära rikkuda. Seetõttu pole isegi superraalide abil võimalik modelleerida vähegi keerukama dünaamilise süsteemi pikaajalist käitumist. Süsteemi dünaamika pikaajalise iseloomu väljaselgitamine on aga hädavajalik tema püsivuse kindlakstegemiseks.
Kas Päikesesüsteem on dünaamiliselt stabiilne? Gravitatsioonijõudude mõjul muutuvad planeetide orbiidid pidevalt. Kuigi need muutused on aeglased, võivad orbiidid väikeste häirituste kuhjudes tundmatuseni teiseneda. Lõpuks võib mõni planeet teisele nii lähedale sattuda, et nad kas põrkuvad, purunevad lähimõõdumisel või paisatakse üks planeetidest Päikesesüsteemist hoopis välja. Planeetidevaheliste tõmbejõudude suuruse järgi hinnates peaks orbiidihäirete kuhjumine katastroofilise ulatuseni toimuma juba mõnekümne tuhande aastaga, Päikesesüsteem on aga püsinud miljardeid aastaid. Kust tuleb selline äärmine stabiilsus?
Tekib küsimus, kas ei või süsteemi dünaamikal olla selliseid aspekte, mis iseloomustavad süsteemi käitumist kui tahes pika aja vältel ning mille leidmiseks pole vaja tohutuid arvutusi. Sellised suurused on tõepoolest olemas, neid nimetatakse kas jäävusseadusteks või siis üldisemalt isoleerivateks liikumisintegraalideks. Alati kehtib impulsimomendi ja energia jäävus. Vastavad suurused on küllalt lihtsad avaldised planeetide koordinaatidest ja kiirustest ning ükskõik kui kaua ja keeruliselt planeedisüsteem ka tiirleks, võime olla kindlad, et nende avaldiste väärtused ei muutu. Need jäävusseadused välistavad näiteks võimaluse, et kõik planeedid hakkaksid tiirlemisel Päikesele lähenema või vastupidi — Päikesest eemalduma.
Jules Henri Poincaré
(29.IV.1854 - 17.VII.1912)
Päikesesüsteemi 9 planeedi dünaamilist olekut kirjeldab 54 parameetrit (3 koordinaati ja 3 kiiruse komponenti iga keha kohta), ülalmärgitud jäävusseadused fikseerivad aga vaid 4 seost nende parameetrite vahel. Orbiitide varieerumiseks jääb ikkagi väga palju võimalusi, katastroofid planeetide liikumisel pole välistatud. Kuid kas isoleerivaid liikumisinteg-raale pole rohkem? Täiendavaid jäävusseadusi otsiti eriti intensiivselt möödunud sajandil ning lihtsamatel dünaamilistel süsteemidel on need mõnikord tõesti olemas. Kuid ligi sajand tagasi näitas prantsuse matemaatik H. Poincare, et üldjuhul pole dünaamilistel süsteemidel, sealhulgas ka pla-needisüsteemil, täiendavaid liikumisintegraale. Sestpeale paistis Päikesesüsteemi stabiilsus veelgi mõistatuslikum.
Integreeritavad dünaamilised süsteemid
Mõned dünaamilised süsteemid on nii lihtsad, et nende käitumist on võimalik ette näha kui tahes pika aja peale. Selline oleks ka Päikesesüsteem, kui puuduksid planeetidevahelised jõud. Siis liiguks iga planeet teistest sõltumatult oma orbiidil kooskõlas Kepleri seadustega. Olles kindlaks teinud vastavate orbiidiellipsite suuruse ja paigutuse ruumis, võime olla veendunud, et ükskõik kui palju aega ka mööduks, ei saa ükski planeet olla mujal kui oma orbiidiellipsi mingis punktis. Millises punktis nimelt, seda ei oska me siiski pika aja peale ette öelda, sest selleks peaksime ülitäpselt teadma planeetide tiirlemisperioode. Aga sellest pole ka suurt lugu, sest planeetide süsteemi stabiilsus on antud juhul täiesti ilmne. Taolisi dünaamilisi süsteeme nimetatakse integreeritavateks.
Integreeritavad on tavaliselt need süsteemid, mille komponentide vahel puudub vastastikune mõju. Siis on iga komponendi käitumist võimalik eraldi ning seetõttu suhteliselt kerge vaevaga välja arvutada. Integreeritav on näiteks lineaarsete võnkumiste probleem, sealhulgas ülesanne lineaarse lainevälja käitumisest.
Kolmogorovi—Arnoldi—Moseri teoreem
Päikesesüsteemi dünaamika, kui arvestada planeetidevahelisi jõude, ei ole integreeritav. Ent veendumus, et mingi seletus peab Päikesesüsteemi stabiilsusel siiski olema, sundis matemaatikuid probleemi üksikasjalikult uurima. Lootused rajati sellele, et Päikesesüsteemi dünaamika ei erine kuigi palju integreeritavast, sest planeetidevahelised jõud on palju väiksemad planeetide elliptilist põhiliikumist määravast Päikese külgetõmbejõust.
Andrei Nikolaevich Kolmogorov
(25.IV.1903 - 20.X.1987)
1954. aastal püstitas nõukogude matemaatik A. Kolmogorov teoreemi peaaegu integreeritavate süsteemide käitumise kohta ja osutas selle teoreemi originaalsele tõestusvõttele. 1963. aastal tõestas rangelt selle teoreemi teine nõukogude matemaatik V. Arnold ning mõned aastad hiljem temast sõltumatult saksa matemaatik J. Moser. Nende teadlaste järgi kutsutaksegi seda KAM-teoreemiks.
Vladimir Igorevich Arnold
(12.VI.1937)
KAM-teoreemi tõestus on üpriski keeruline, mitmekümne lehekülje pikkune. Esitame siin teoreemi sisu Päikesesüsteemi dünaamika näitel. Kui planeetide massid on Päikese massiga võrreldes küllalt väikesed, nii et süsteemi dünaamika erineb suhteliselt vähe integreeritavast, on KAM-teoreemi järgi valdav enamik planeetide orbiidikomplektidest stabiilsed. Seejuures pole planeetide trajektoorid enam ellipsid ega isegi mitte suletud jooned ning vajab täpsustamist, kuidas mõista nende stabiilsust. Lihtsuse mõttes eeldame, et kõik planeedid tiirlevad peaaegu ühes tasandis, nagu see tegelikkuses enam-vahem ongi. Fikseerides sellel tasandil Päikesest lähtuva kindla suuna, saame iga planeedi asukoha anda kähe arvuga: asimuudiga sellest suunast ning kaugusega Päikesest. Vastavalt KAM-teoreemile on enamik orbiidikogumeid sellised, et planeedi kaugus Päikesest sõltub planeetide asimuutidest kogu aeg ühtemoodi, seejuures põhiliselt omaenda asimuudist ning vähesel määral teiste planeetide asimuutidest. Ka kui tahes pika aja möödudes ei saa planeedid «kõlama» minna, sest nende kaugused Päikesest on kindlalt seotud nende asimuutidega ja ehkki nad ei liigu täpselt mööda ellipseid, mähkub iga planeedi trajektoor nagu peenike ellipsikujuline «lõngaviht» ümber Päikese. Sellise tiirlemis-viiši stabiilsus on ilmselge.
Jürgen K. Moser
(4.VI.1928 - 17.XII.1999)
Siin kerkib küsimus: ega Poincare ometi eksinud? On ju ülalkirjeldatud juhul olemas täiendavad liikumisintegraalid, sest kandes avaldises «planeedi kaugus Päikesest = funktsioon asimuutidest» kõik liikmed võrdusmärgist vasakule poole, saame süsteemi liikumisel säiliva suuruse — nulli. Poincare siiski ei eksinud. Asi on selles, et igal stabiilsel orbiidi-komplektil on täiendavate liikumisintegraalide avaldised erinevad ning väga keerukad, avaldudes lõpmatute jadade kujul. Poincare tõestatud teoreem aga kehtib «heade» liikumisintegraalide kohta, mille avaldised on universaalsed ja rakendatavad planeetide kõigi võimalike orbiitide korral. KAM-teooria põhijooned tulevad paremini ilmsiks, kui teeme selgeks stabiilsete ja ebastabiilsete orbiidikomplektide vahekorra.
Resonantsorbiidid ja ebastabiilsed orbiidid
KAM-teoreemi järgi on stabiilsed need orbiidikomplektid, mille tiirle-misperioodide suhted on irratsionaalarvulised, nii et puuduvad resonantsi-nähud. Kui tiirlemisperioodide suhted on aga ratsionaalarvulised (s. t. väljendatavad harilike murdudena) või sellele väga lähedased, ilmneb orbitaalliikumiste vaheline resonants ning planeetide kaugused Päikesest ei ole enam avaldatavad asimuutnurkade funktsioonina. See ei pruugi veel tähendada orbiitide ebastabiilsust, sest enamasti resonants vaid sünkroniseerib planeetide tiirlemise. Sellistel sünkronisminähtustel on lõpmatuast-meline hierarhia. Nimelt ei tarvitse sünkronisatsioon olla täpne, vaid võnkuda täpselt sünkroniseeritud tiirlemispildi ümber. Need sünkronisatsiooni-kõikumised võivad omakorda minna resonantsi ja jällegi mitte täpsesse, vaid perioodiliselt kõikuvasse jne. jne. Sellised resonantsorbiidid on samuti stabiilsed, kuigi liikumispilt võib olla äärmiselt keeruline.
Stabiilsete resonantsorbiitide vahetus naabruses on alati olemas ebastabiilsed orbiidid. Stabiilsed ja ebastabiilsed orbiidid paiknevad lõpmata tihedalt segamini, nii nagu irratsionaal- ja ratsionaalarvud asetsevad ülitihedalt üksteise vahel. Muutes stabiilse orbiidikomplekti parameetreid kas või imevahe, võime sattuda ebastabiilsele orbiidikomplektile. Seega peame orbiitide stabiilsuse kindlakstegemiseks mõõtma orbiitide parameetrid absoluutselt täpselt. Kuid praktikas saame mõõta vaid lõpliku täpsusega. Ka mõjutavad planeetide liikumist juhuslikud faktorid (näiteks meteorii-tide langemine planeedile), mis võivad olla küll tühiselt väikesed, kuid küllaldased, muutmaks orbute stabiilsetest ebastabiilseteks. Kuidas siis üldse saab KAM-teooriat praktiliste probleemide puhul rakendada?
Absoluutne ja praktiline stabiilsus
KAM-teoreem kehtib absoluutse stabiilsuse kohta, s. o. stabiilsuse kohta lõpmata pika aja vältel. Selles mõttes on tõesti iga stabiilse orbiidi vahetus naabruses ebastabiilne orbiit. Kuid orbiitide ebastabiilsus võib olla äärmiselt väike. Praktilisest seisukohast võttes ei huvita meid mitte niivõrd orbiitide absoluutne, kui just n.-õ. praktiline stabiilsus. Planeetide orbiidid võime lugeda praktilises mõttes stabiilseteks, kui Päikesesüsteemi eluea vältel orbiidid märgatavalt ei muutu. Sellise kriteeriumi korral osutub stabiilseks ka enamik absoluutses mõttes mittestabiilseid orbute. Nimelt kui resonants on nõrk, s. t. kui tiirlemisperioodide suhe avaldub hariliku murruna, mille lugeja ja nimetaja on suured täisarvud (eeldatakse, et nad on ühisteguritega läbi jagatud), näiteks 25/64, vajab ebastabiilsuse ilmnemine nii tohutult palju aega, et selle kõrval jääb Päikesesüsteemi iga tühiselt lühikeseks.
Kõige ebastabiilsemad on tugevate resonantsidega orbiidid, s. o. need, mille tiirlemisperioodide suhted on lähedased väikeste täisarvude jagatis-tele, nagu 1/2, 1/3, 2/3 jms. Ent nagu tõestas 1977. aastal nõukogude matemaatik N. Nehorošev, kahaneb ebastabiilsus igal juhul äärmiselt kiiresti, kui süsteemi dünaamika integreeritavust rikkuv häiritus väheneb. Päikesesüsteemi korral iseloomustab selle häirituse tugevust eelkõige planeetide ja Päikese massi jagatis.
Päikesesüsteemi praktiline stabiilsus
KAM-teoreemi järgi on enamik planeedisüsteemi orbiidikomplekte stabiilsed, kui planeedid üksteise liikumist oluliselt ei häiri. Kuid KAM-teoreemi abil ei saa otseselt määrata konkreetsete orbiidikomplektide stabiilsust. Seda tuleb uurida iga ülesandetüübi korral eraldi, lähtudes KAM-teoreemi ideedest. Ka planeedisüsteemi praktiline stabiilsus tuleb iga kon-kreetse situatsiooni jaoks eraldi kindlaks teha vastavalt Nehoroševi teoreemi ideedele. Siin võiks tuua analoogilise näite aerodünaamikast. Saab tõestada, et on võimalik ehitada õhust raskemaid lennuaparaate, kui vaid nende mootorid on küllalt võimsad ja kandepinnad vajalikult suured. Kas aga mingi konkreetne konstruktsioon suudab õhku tõusta, saab kindlaks teha vaid keeruliste spetsiaalsete arvutustega, toetudes vastava üldteo-reemi põhimõtetele.
Kas siis Päikesesüsteem on stabiilne või mitte? Tuleb tunnistada, et ranget teoreetilist vastust sellele küsimusele pole. Siiski saab KAM-teoreemi alusel teha väga tõenäolise järelduse Päikesesüsteemi suurest praktilisest stabiilsusest, Pluuto tiirlemine võib-olla välja arvatud. Planeedisüsteemi stabiilsuseks on vajalik, et planeetide orbüditasandid ei lõikuks suurte nurkade all, et planeedid tiirleksid neis tasandeis samapidiselt ning et nende orbiidid ei ulatuks kusagil üksteisele liiga lähedale. Ainukesena ei rahulda loetletud tingimusi kaugeim planeet Pluuto, mille orbiit ulatub väga lähedale Neptuuni omale. See ei tähenda veel nende kähe planeedi peatset kokkupõrget. Tegemist on tugeva resonantsiga: Neptuuni ja Pluuto tiirlemisperioodide suhe on 2/3 ning nende «sõiduplaan» mööda orbute korraldatud nii, et nad teineteise lähedale ei satu. Sellise resonantsliikumise stabiilsust pikema aja lõikes on siiski raske välja selgitada.
Jättes kõrvale Pluuto ja temaga koos igaks juhuks ka Neptuuni, võib ülejäänud seitsme planeedi — Merkuuri, Veenuse, Maa, Marsi, Jupiteri,Saturni ja Uraani — tiirlemise stabiilsust pidada äärmiselt suureks. Põhjendus on järgmine.
Kõige rohkem häirivad teineteise liikumist massiivseimad planeedid Jupiter ja Saturn. Kui me saaksime veenduda süsteemi Jupiter—Saturn— Päike dünaamilises stabiilsuses, võiksime ülejäänud planeetide orbiitide püsivuses üsna kindlad olla. Süsteemi Jupiter—Saturn—Päike kohta tehti võimsate arvutitega kindlaks järgmist. Kui võtta Jupiteri ja Saturni massid 29,5 korda tegelikest suuremaks, laguneb süsteem 3000 aastaga, kui suurendada masse 29,25 korda, võtab lagunemine aega 10 000 aastat. Pikemate ajavahemike jaoks on arvutusi raske teha, kuid juba tehtust piisab süsteemi lagunemisaja hindamiseks planeetide õigete masside korral. Arvutustulemustest on näha, et Jupiteri ja Saturni massi vähendamisel süsteemi eluiga pikeneb kiiresti, nagu väidabki Nehoroševi teoreem. Selle teoreemi järgi võib õigete Saturni ja Jupiteri massidega süsteemi elueaks hinnata 10000 aastat! Universumi vanus on sellega võrreldes tape. Ilmselt pole Päikesesüsteemi praktilises stabiilsuses mõtet kahelda.
Kolmas liikumisintegraal stellaardünaamikas
Päikesesüsteemi stabiilsuse kõrval on astronoomias veel teine väga oluline probleem, mille lahendus selgub KAM-teoreemist. See puudutab tähtede liikumist Galaktikas.
Kõik tähed kokku kujundavad Galaktikas telgsümmeetrilise keskmise gravitatsioonivälja, mille mõjul siis iga üksik täht liigub. Kui arvata tähtede liikumisest maha Galaktika üldine pöörlemine, jäävad järele tähtede võnkumised risti Galaktika sümmeetriatasandiga, piki Galaktika raadiusi ja Galaktika pöörlemise sihis. Üldjuhul peaksid keskmised võnkumiskiiru-sed risti Galaktika tasandiga ja radiaalsihis olema võrdsed, kuid vaatluste järgi on esimesed viimastest 2 korda väiksemad. Selline erinevus oleks mõistetav, kui lisaks üldkehtivatele liikumisintegraalidele — energiale ja impulsimomendile — leiduks veel täiendav, nn. kolmas liikumisintegraal, mis määraks rangemalt tähtede liikumise Galaktikas.
Kolmanda liikumisintegraali teooria arendamisse on andnud suure panuse Tartu astronoom G. Kusmin. Ta näitas, millist tüüpi gravitatsioonivälja kuju korral on olemas range kolmas integraal. Kuid tegelik gravitatsiooniväli Galaktikas ei ole täpselt seda tüüpi. Miks siis tähtede keskmised võnkumiskiirused eri sihtides pole Galaktika kümne miljardi aastase ajaloo vältel ikkagi võrdsustunud? Vastuse annab KAM-teoreem. Et Galaktika tegelik gravitatsiooniväli ei erine väga tugevasti väljast, millel on olemas range kolmas integraal, siis vastavalt KAM-teoreemile omab valdav enamik tähtede orbute kolmandat integraali, olgugi et iga orbiidi jaoks veidi erinevat. Süstemaatilist energia ülekannet ühest võnkumissihist teise neil orbiitidel liikuvate tähtede puhul ei toimu ning seetõttu säilib ka kesk-miste kiiruste erinevus võnkumistel risti Galaktika tasandiga ja piki Galaktika raadiust.
KAM-teoreemi tähtsusest füüsikas
KAM-teoreem iseloomustab selliste füüsikaliste süsteemide käitumist, mis kujutavad endast nõrga vastastikuse mõjuga ostsillaatorite võnkumist. Niisugused dünaamilised süsteemid on füüsikas küllalt levinud. Vaatamegi veidi lähemalt üht sellist tüüpi süsteemi — nõrgalt mittelineaarset lainetust.
Lineaarse lainevälja võime jagada siinuselisteks tasalaineteks, kusjuures ühegi sellise osalaine ehk lainemoodi käitumine ei sõltu teiste osa-lainete käitumisest. Niisugune lainetusprotsess on triviaalne, kujutades endast lihtlainete sõltumatut lihtlevi. Asi on teisiti, kui lainevõrrandid sisaldavad nn. mittelineaarseid liikmeid. Sel juhul pole lainemoodid enam sõltumatud, nad vahetavad omavahel energiat, ühed neist tugevnevad, teised nõrgenevad, genereeritakse uusi, algul puudunud lainemoode. Mis sellisest laineväljast Jõpuks saab? Et süsteemil on tohutult palju kompo-nente-lainemoode, mittelineaarsus omab aga suvalist üldist kuju, on loomulik eeldada statistilise tasakaalu kujunemist süsteemis, s. o. energia võrdset jaotumist komponentide vahel. Et lühilainelisi moode on palju rohkem pikalainelistest, siis välja areng statistilise tasakaalu poole tähendab energia voolamist ikka lühema ja lühema lainepikkusega moodidesse. Sellist nähtust nimetatakse ultravioletseks katastroofiks. Nii dramaatilist terminit käsutatakse seetõttu, et sisuliselt läheb energia nagu kaduma, kändudes kiiresti lõpmata lühikese pikkusega lainetesse (lainespektri ultravioletsesse otsa), mida me ei suuda vaadelda, ja et neid laineid on lõpmatu hulk, jagub igasse moodi lõpuks kaduvvähe energiat.
Ultravioletne katastroof saabub tõepoolest, kui mittelineaarsus on küllalt tugev ega ole mingit erilist elegantset tüüpi. Aga kuidas muutub laine-valja käitumine, kui tema mittelineaarsust vähendada? Varem oldi kind-!ad, et katastroof saabub ikkagi, olgugi seda aeglasemalt, mida väiksem on mittelineaarsus. Kürete lainetusprotsesside puhul jäävad need ajad igal juhul väga lühikeseks. KAM-teoreemi järgi on asjade käik radikaalselt teistsugune. Ja nimelt: mittelineaarsuse kahanedes alla teatud piiri lainevälja stohhastiline käitumine praktiliselt kaob, energia ulatuslik ülekandumine lainemoodide vahel lakkab. Vaatamata lainevälja mittelineaarsu-ne käitub ta sarnaselt lineaarse väljaga: energia spektraaljaotus säilib. Siiski erineb sellise välja dünaamika oluliselt lineaarvälja omast. Käib kiire, keerulise korrapäraga energiavahetus moodide vahel, mis resonantsinähtuste tõttu võib omada komplitseeritud hierarhilist struktuuri.
Kokkuvõtlikult öeldes: on olemas lai klass füüsikanähtusi, mida varem peeti puhtstohhastilisteks, kuid mille rikka füüsikalise sisu — keerulise hierarhilise struktuuriga korrapärase käitumise — avab KAM-teoreem.
KAM-teoreemi üldisest tähendusest
Kuigi KAM-teoreem omab suurimat tähtsust mehaaniliste ja füüsikaliste nähtuste iseloomu mõistmisel, sest vastavate protsesside kulg on matemaatiliselt väga täpselt formuleeritav, on tema rakendusvaldkond hoopis laiem.
KAM-teoreem väljendab üht olulist matemaatilist tõde, tuues ilmsiks teatud tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendite üllatavad globaalomadused. Ta on rakendatav kõigile protsessidele, mida saab vastavat tüüpi võrranditega kirjeldada.
Kõige üldisemalt väljendudes: KAM-teoreem näitab, et perioodilised protsessid, mis üksteist ülemäära tugevasti ei häiri, ei lähe oma käitumisega kaootiliselt puntrasse, vaid annavad korrapärase keerulise dünaamikaga süsteemi, milles iga osaprotsess jääb tugevasti iseseisvaks.
Maailmas on rohkem korda, kui seni arvati!